giuliano

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IL TOMO

lunedì 14 febbraio 2022

L'EQUILIBRIO DI NASH (probabili soluzioni spazio-temporali)

 










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La polvere del nostro Tempo....


& L'eterna guerra....








Quando un giorno dei primi anni 90 del secolo scorso il fisico Freeman Dyson accolse John Forbes Nash Jr. all’Institute for Advanced Study di Princeton, probabilmente non si aspettava da lui una qualsiasi reazione. Nash, che poco più che ventenne era stato una leggenda nel campo della matematica, aveva in seguito sofferto per decenni di una devastante malattia mentale. Uno spettro silenzioso che scarabocchiava messaggi misteriosi alla lavagna e che trascorreva il suo tempo immerso in calcoli numerologici conosciuto per tutta Princeton solo come ‘il Fantasma’.

 

Con grande meraviglia di Dyson, Nash rispose.

 

Disse di aver visto la figlia di Dyson, un’autorità nel campo dei computer, al telegiornale. ‘È stato magnifico’ , ricorda Dyson. ‘Lentamente si era come in qualche modo risvegliato’ . La miracolosa guarigione di Nash da una malattia a lungo considerata una condanna a vita, non è stata né la prima né l’ultima svolta clamorosa di una vita straordinaria. L’eccentrico giovanotto proveniente dalla Virginia dell’Ovest, con aspetto da stella del cinema e dalle maniere da atleta olimpico, irruppe nel mondo della matematica nel 1948.

 

Il ventenne studente si presentò all’esclusivo dipartimento di matematica di Princeton con una lettera di presentazione lunga una riga soltanto: ‘Quest’uomo è un genio’ . Poco più di un anno dopo, Nash scrisse una tesi di dottorato di 27 pagine che un giorno gli avrebbe fatto vincere il premio Nobel. Nel decennio successivo i suoi strabilianti risultati ed il suo comportamento eccentrico lo resero una celebrità nel mondo della matematica. Donald Newman, un matematico che lo frequentava nei primi anni 50, era solito chiamarlo ‘un ragazzaccio, ma anche un grande’ .

 

Lloyd Shapley, un compagno di dottorato a Princeton, disse di Nash: ‘Quello che lo riscattava era la sua mente: chiara, logica, meravigliosa’. Ossessionato dall’originalità, sdegnoso di ogni autorità ed estremamente sicuro di se stesso, Nash ha percorso rapidamente un cammino che menti più convenzionali rifiutavano di intraprendere. ‘Per raggiungere una vetta chiunque altro cercherebbe un sentiero su per la montagna’ , ricordava un giorno Newman, ‘Nash invece scalerebbe un’altra montagna e da quella cima lontana illuminerebbe la prima vetta con una potente torcia’.

 

A trent’anni sembrava avere tutto. Era sposato con una splendida giovane fisica e stava per essere nominato professore di ruolo al MIT . La rivista Fortune lo aveva appena segnalato come uno degli astri più brillanti della più giovane generazione dei nuovi matematici. Dopo nemmeno un anno, tuttavia, la sua brillante carriera si interruppe bruscamente. Dopo la diagnosi di schizofrenia paranoide, Nash si dimise dal MIT e scappò a Parigi, inseguendo il sogno donchisciottesco di diventare cittadino del mondo .

 

Trascorse il decennio seguente dentro e fuori ospedali psichiatrici. A quarant’anni aveva perso tutto: amici, famiglia, professione. Solo la comprensione di sua moglie Alicia gli impedì di diventare un senzatetto. Protetto da Alicia e da pochi, fedeli ex-colleghi, Nash vagava per il campus di Princeton in preda al delirio, convinto di essere ‘una figura religiosa’ di grande ma segreta importanza. Mentre Nash era perduto nei suoi sogni, il suo nome appariva sempre più spesso in riviste e testi che spaziavano dall’economia alla biologia, dalla matematica alle scienze politiche: ‘L’equilibrio di Nash’, ‘La soluzione di Nash per il problema della contrattazione’ , "Il programma di Nash" , ‘Teorema di De Giorgi-Nash’ , ‘Il teorema di immersione di Nash’, ‘Il teorema di Nash-Moser’ , ‘Il blowing up di Nash’.

 

Al di fuori di Princeton, esperti che si basavano sui suoi lavori spesso pensavano che fosse morto. Tuttavia le sue idee erano vive e vegete ed acquisivano sempre più importanza, sebbene il loro autore stesse affondando sempre più nell’oscurità. I contributi di Nash alla matematica pura – immersione di varietà Riemanniane, esistenza di soluzioni per equazioni differenziali ellittiche e paraboliche - spianarono la strada a nuovi importanti sviluppi. Negli anni 80 del secolo scorso il suo precedente lavoro sulla teoria dei giochi aveva permeato gli studi di economia ed aiutato a creare nuovi campi all’interno della disciplina stessa, inclusa l’economia sperimentale. Filosofi, biologi ed esperti di scienze politiche adottarono le sue intuizioni.




Nash arrivò a Princeton nel 1948, il primo giorno della campagna per la rielezione di Truman e si trovò improvvisamente al centro dell’universo della matematica. Le stelle della scienza del ventesimo secolo si trovavano là: Einstein, GodeI, Oppenheimer e John von Neumann. ‘L’aria è densa di idee e di formule matematiche’ , esclamò meravigliato uno degli assistenti di Einstein. Erano tempi esaltanti. ‘L’impressione era che la mente umana potesse arrivare a fare qualsiasi cosa con nozioni matematiche’ , ricorda uno dei compagni di dottorato di Nash.

 

Oggi il linguaggio della teoria dei giochi permea le scienze sociali. Nel 1948 la teoria dei giochi, nuova di zecca, era nell’aria alla Fine Hall di Princeton. L’idea che i giochi potessero essere utilizzati per analizzare il pensiero strategico ha una lunga storia. Giochi come Kriegspiel, una forma di gioco degli scacchi giocato al buio, veniva utilizzata per addestrare gli ufficiali prussiani. Matematici quali Emile Borel, Ernst Zermelo e Hugo Steinhaus studiarono giochi di società coll’idea di trovarne ispirazione per nuove teorie matematiche.

 

Il primo tentativo formale di creare una teoria dei giochi fu l’articolo di von Neumann del 1928, ‘Zur teorie der gesellschaftsspiele’, in cui sviluppò il concetto di interdipendenza strategica. Ma la teoria dei giochi come paradigma fondamentale per lo studio di strategie decisionali in situazioni dove la migliore mossa per un giocatore dipende dalle azioni altrui, non si concretizzò fino alla seconda Guerra Mondiale quando la Marina britannica la utilizzò per migliorare la percentuale di bersagli colpiti nel corso della campagna contro i sottomarini tedeschi.

 

Gli studiosi di scienze sociali la scoprirono nel 1944 quando von Neumann e Oskar Morgenstern l’economista di Princeton, pubblicarono la loro opera fondamentale, ‘Theory of games and economie behaviour’, nella quale congetturarono che la teoria dei giochi sarebbe diventata per gli studi dei mercati quello che l’analisi matematica era stata per la fisica ai tempi di Newton. I matematici puri che frequentavano l’'università e l’Istituto tendevano a considerare la teoria dei giochi ‘solo l’ultima moda’ e déclassè, perché non era matematica pura ma applicata.

 

Ma agli occhi di Nash e dei suoi compagni di dottorato, l’interesse di von Neumann in queste problematiche rappresentava una tentazione irresistibile. Nash scrisse il suo primo importante lavoro - ora un classico sull’argomento della contrattazione - mentre frequentava il corso settimanale di Albert Thcker sulla teoria dei giochi , durante il suo primo anno a Princeton, dove incontrò von Neumann e Morgenstern. Tuttavia aveva cominciato ad elaborare le sue idee sull’argomento mentre era ancora studente di college alla Carnegie Tech, durante l’unico corso di economia (commercio internazionale) che abbia mai frequentato.

 

Quello della contrattazione è un vecchio problema in economia. Nonostante lo sviluppo dei mercati composti da milioni di acquirenti e venditori che non interagiscono mai direttamente, le transazioni bilaterali tra individui, società, governi o sindacati hanno ancora un notevole spazio nella vita economica di tutti i giorni.

 

Tuttavia, prima di Nash, gli economisti presumevano che il risultato di una contrattazione bilaterale fosse determinato dalla psicologia e che di conseguenza non fosse di pertinenza del campo dell’economia. Non avevano insomma un modello formale per analizzare il modo in cui i due agenti in un processo di contrattazione avrebbero interagito o come si sarebbero spartiti la torta. Ovviamente ogni partecipante ad una contrattazione si aspetta di trarre più beneficio da una collaborazione che agendo da solo. È altrettanto ovvio che i risultati della trattativa dipendono dal potere negoziale di ciascuna delle parti in causa.

 

Oltre a ciò gli economisti avevano ben poco da aggiungere.

 

Nessuno aveva scoperto dei principi per selezionare risultati univoci dalle numerose alternative possibili. Ben pochi progressi, se mai ce ne furono, erano stati fatti da quando nel 1881 Edgeworth ammise: ‘La risposta generale è… che un contratto senza concorrenza non è determinato’. Nella loro opera von Neumann e Morgenstern avevano suggerito che ‘una vera comprensione della contrattazione’ consisteva nel definire lo scambio bilaterale come ‘gioco di strategia’. Tuttavia neppure loro erano arrivati ad un risultato concreto.




Non è difficile capire perché: i negoziatori in carne ed ossa hanno in genere a disposizione una grande moltitudine di strategie potenziali tra cui scegliere - quali offerte fare, quando farle, quali informazioni, minacce o promesse da fare e via dicendo. Nash optò per un’idea del tutto nuova, rendendo semplicemente più raffinato il procedimento. Concepì lo scambio come il risultato o di un processo di negoziazione, oppure di una scelta di strategie effettuata indipendentemente da individui che mirano ciascuno al proprio interesse. Invece di definire direttamente una soluzione, si chiese quali dovessero essere le condizioni ragionevoli per una soddisfacente suddivisione del guadagno derivante da una contrattazione. Quindi postulò quattro condizioni e, utilizzando un ingegnoso ragionamento matematico, dimostrò che, se gli assiomi erano fondati, il risultato sarebbe stato una soluzione unica: quella ottenuta dalla massimizzazione del prodotto degli utili delle due parti.

 

In sostanza il modo in cui i profitti vengono suddivisi riflette quanto lo scambio sia vantaggioso per le due parti in causa e quali altre possibili alternative esse abbiano. Riducendo il problema della contrattazione a formule semplici e precise, Nash dimostrò come esista una soluzione particolare per un’ampia classe di questi problemi. Il suo approccio è diventato il metodo standard per far modelli di risultati di contrattazioni nell’ambito di una vasta letteratura teorica che abbraccia molti campi, incluso quello della contrattazione sindacale e quello degli accordi nell’ambito degli scambi internazionali.

 

Fin dal 1950, il concetto di equilibrio di Nash – l’idea che gli valse il Nobel - è diventato la struttura matematica per lo studio di tutti i tipi di situazioni di conflitto e di collaborazione. Nash fece questa scoperta all’inizio del suo secondo anno a Princeton, descrivendo la sua idea al compagno di dottorato David Gale. Quest’ultimo insistette immediatamente che Nash presentasse la sua conclusione ai ‘Proceedings of the National Academy of Sciences’. Nella nota, ‘Equilibrium points in n-person games’, Nash applica la sua definizione generale di equilibrio ad una vasta classe di giochi e dimostra, usando il teorema del punto fisso di Kakutani, che qualsiasi gioco finito in forma normale ammette equilibri in strategie miste.

 

Dopo mesi di discussioni con Tucker, suo relatore di tesi, Nash scrisse un’elegante e concisa dissertazione contenente un’altra dimostrazione, nella quale si avvaleva del teorema del punto fisso di Brower. In questa tesi intitolata ‘Non-cooperative games’, Nash introdusse la distinzione ‘tra giochi non cooperativi’ e ‘giochi cooperativi’, tra giochi in cui i giocatori agiscono per conto proprio ‘senza collaborare o aiutarsi con nessun altro’ e ‘quelli dove i giocatori hanno la possibilità di scambiarsi informazioni, di trattare affari e di allearsi’.

 

La teoria dei giochi di Nash - specialmente il suo concetto di equilibrio nell' ambito di tali giochi oggi noto come equilibrio di Nash - ha ampliato in modo significativo il campo dell’economia come disciplina scientifica. Qualsiasi teoria sociale, politica o economica riguarda l’interazione tra individui, ciascuno dei quali persegue i propri obiettivi quali che siano, altruistici o egoistici. Prima di Nash, in economia esisteva un solo modo per descrivere formalmente come agiscono gli agenti economici, ovvero il mercato impersonale. Economisti classici come Adam Smith presumevano che ogni agente considerasse i prezzi di mercato al di fuori del proprio controllo e decidesse semplicemente quanto comprare o vendere. Poi in un qualche modo - per esempio, tramite la famosa ‘Mano Invisibile di Smith’ - si sviluppa un sistema di prezzi che bilancia l’offerta generale con la domanda.




Nell’estate del 1950 Nash, con il suo dottorato in tasca, approdò alla RAND, la commissione supersegreta per la guerra fredda. Per i quattro anni seguenti avrebbe dovuto far parte dell’ ‘operazione acquisto grandi cervelli dell’Air Force’ - le cui menti più brillanti avrebbero poi costituito un modello per il Dr. Stranamore - impegnandosi a passare a Santa Monica un’estate ogni due anni. La teoria dei giochi di Nash era considerata un’arma segreta nell’ambito di una guerra nucleare di cervelli contro l’Unione Sovietica. Speriamo che (la teoria dei giochi) funzioni, proprio come nel 1942 abbiamo sperato che avrebbe funzionato la bomba atomica, dichiarò all’epoca un ufficiale del Pentagono alla rivista Fortune.

 

Nash ebbe alla RAND un’accoglienza entusiasta. Ricercatori come Kenneth Arrow , che vinse il Premio Nobel per la sua teoria sulle scelte sociali, erano già pronti ad affrontare ‘il nodo dei vincoli della teoria dei giochi a due persone e a somma zero’ che preoccupava gli esperti della RAN D. Poiché le armi erano diventate sempre più distruttive, la guerra totale non poteva più essere considerata come un conflitto nel quale gli avversari non avevano interessi comuni. Ecco perché il modello di Nash sembrava essere più promettente di quello di von Neumann.

 

Probabilmente il lavoro più importante che Nash ha scritto alla RAND riguardava un esperimento. Ideato con un’equipe che comprendeva Milnor e pubblicato sotto il titolo di ‘Alcuni giochi sperimentali ad n-persone’, questo esperimento ha anticipato di parecchi decenni il campo dell’economia sperimentale, oggi molto fiorente. Alvin Roth ha sottolineato come in quegli anni l’esperimento fosse considerato fallimentare poiché si dubitava del potere predittivo della teoria dei giochi. In seguito però è diventato un paradigma per aver attirato l’attenzione su due aspetti dell’interazione.

 

In primo luogo ha messo in risalto l’importanza delle informazioni in possesso dei partecipanti. In secondo luogo ha fatto capire chiaramente che le scelte dei giocatori erano dettate, nella maggior parte dei casi, da un’esigenza di correttezza. Per quanto semplice, l’esperimento dimostrava che l’analisi del comportamento effettivo dei giocatori attirava l’attenzione dei ricercatori sugli elementi di interazione - come mandarsi segnali e minacce implicite - che non facevano parte del modello originale. Durante la sua permanenza alla RAND, Nash, i cui interessi stavano rapidamente passando dalla teoria dei giochi alla matematica pura, rimase affascinato dai computer….




P.S. Credo che il problema, ovvero il non-problema sollevato a livello mondiale, si possa risolvere nell’Equilibrio di Nash; lasciando irrisolti i veri problemi degli squilibri di cui la nostra comune Terra soffre e prega, dati da squilibrate funzioni costantemente applicate ai Perfetti Elementi da cui l’evolversi della Vita, mal interpretata e simmetricamente tradotta, circa le vere necessità coniugate con le sane incorrotte esigenze poste nella gravità terrena.

 

Così come le presunte Geografie conferite da altrettante approssimate conoscenze circa le vere e durature connessioni da cui l’uomo evoluto simmetrico all’Universo partecipato, quanto posticipato nell’atto ‘da e per cui’ Creato e da cui certa e più matura comprensione.

 

Da questa semplice  Equazione di Nash il nodo, a prescindere le tante troppe parole in merito non degne del Tempo della Conoscenza o più elevata compassionevole Coscienza (di cui si abbisogna), si risolverà l’intera questio, lasciando però irrisolto il Principio formale di come il problema sollevato di natura Geopolitica non risolva la funzione umana inerente gli insoluti (rimossi negati abdicati) problemi non solo umani (fors'anche al di sopra degli umani), ed ove i vari attori si alternano per gli interessi dati dal principio dell’attuale dottrina economica, la quale per sua carente natura esula e non espleta e traduce le reali necessità umane (date dai non-umani).

 

Semmai da tutto ciò traduciamo con maggior Equilibrio dato da tanti troppi squilibrati come l’uomo incapace di risolvere i veri problemi divenuti ‘fantasmi’ e ‘tabù’ della reale Apocalisse che attende il regno del proprio Dominio scritto nel principio informale del caos terreno, che questo caos giovi non v’è ombra di dubbio circa il buio costantemente offerto ai miracoli della Ragione e con essa l’intera Natura, soprattutto quanto i giocatori sono, a nostro modesto umile avviso, degli eterni Strani amori innamorati… della propria ricchezza scritta nell’eterna inconsapevolezza di cosa sia il vero e più duraturo Dominio su questa Terra.

 

Cogliamo l’occasione, con la presente, di porgere i nostri migliori auguri di S. Valentino, così da potersi liberamente odiare e in fasi alterne amare, sperando che in questi giochi di odio nutrito da segreto affetto, ci lasciano il Tempo di cagionare cose sicuramente più elevate circa i veri reali problemi del nostro Infinito Universo…

 

Abdichiamo ad ogni Profeta perito nella gravità terrena, il compito di rinascere alla Verità negata nutrimento e linfa della Vita…  







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